Question

将边长为2，一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F分别为AC，BD的中点，则下列命题中正确的是

 

．
①EF∥AB；
②EF⊥BD；
③EF有最大值，无最小值；
④当四面体ABCD的体积最大时，AC=

6

； 
⑤AC垂直于截面BDE．

Answer 1

分析：画出图形，利用翻折前后线面关系，角的关系，逐一分析各个选项的正确性，把正确的选项找出来．

解答：解：如图：由题意得，EF与AB是异面直线，故①不正确．
由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，
又EF?面ACF，
∴EF⊥BD，故②正确．
EF是等腰三角形FAC的底边上的中线，∴EF⊥AC，由于 FA=FC=

3

，
斜边AC的长度不定，
故 EF无最大值，也无最小值，故③不正确．
当四面体ABCD的体积最大时，因为等边△ABD的面积为定值，
故面CBD⊥面ABD时，CF为四面体的高，AC=

CF2+FA2

=

3+3

=

6

，故④正确．
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正确．
综上，②④⑤正确，
故答案为 ②④⑤．

点评：本题考查棱锥的结构特征，注意在翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化；位于折线同侧的
元素关系不变，位于折线两侧的元素关系会发生变化，属于中档题．