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过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点,若,则椭圆的离心率e=   
【答案】分析:设椭圆的左准线为l,设A、B两点在l上的射影分别为C、D,连接AC、BD,过点B作BG⊥AC利用圆锥曲线的统一定义,再结合直角△ABG中,∠BAG=60°,可求出边之间的长度之比,可得离心率的值.
解答:解:如图,设设椭圆的左准线为l,过A点作AC⊥l于C,
过点B作BD⊥l于D,再过B点作BG⊥AC于G,
直角△ABG中,∠BAG=60°,所以AB=2AG,…①
由圆锥曲线统一定义得:

∴AC=2BD
直角梯形ABDC中,AG=AC-BD=…②
①、②比较,可得AB=AC,
又∵

答:所求的离心率为
点评:运用圆锥曲线的统一定义,结合解含有60°的直角三角形,求椭圆的离心率,属于几何方法,运算量小,方便快捷.
本题还有设直线AB方程,与椭圆方程联解,寻求a、b、c的一个关系式,再解一个关于离心率的方程,但是计算过程较为繁琐,同学们不妨试试,加以比较.
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