Question

如图，设P是圆x²+y²=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=

4

5

|PD|
（1）求：当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程．
（2）直线l：kx+y-5=0恒与点M的轨迹C有交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分别设出M和P点的坐标，利用|MD|=

4

5

|PD|求得两点坐标的关系，把P点坐标代入圆的方程化简即可得到点M的轨迹C的方程；
（2）直接联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于等于0求解k的取值范围．

解答：解：（1）如图，设M的坐标为（x，y），P的坐标为（x_P，y_P）
由已知得

xP=x yP= 5 4 y

．
∵P在圆上，∴x2+(

5

4

y)2=25，
即C的方程为

x2

25

+

y2

16

=1；
（2）联立

kx+y-5=0 x2 25 + y2 16 =1

，得（16+25k²）x²-250kx+225=0，
利用判别式△≥0，得（-150k）²-4×225×（16+25k²）≥0．
解得k≤-

3

5

或k≥

3

5

．
∴k的取值范围是k≤-

3

5

或k≥

3

5

．．

点评：本题考查了代入法求曲线的轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了判别式法判断两曲线的关系，是中档题．