Question

已知双曲线C的两个焦点为F₁，F₂，实半轴长与虚半轴长的乘积为，直线l过F₂点，且与线段F₁F₂夹角为α，且tanα＝，l与线段F₁F₂垂直平分线的交点为P，线段PF₂与双曲线的交点为Q，且，求双曲线方程．

Answer 1

答案：
解析：

　　解析：本题未给出坐标系，从双曲线的对称性知，可取F₁F₂所在直线为x轴，F₁F₂的中垂线为y轴建立直角坐标系如图所示．设双曲线方程为＝1，用待定系数法求a、b之值．

　　解析：取F₁F₂所在直线为x轴，F₁F₂的中垂线为y轴建立直角坐标系，设双曲线方程为＝1，设F₁(－c，0)、F₂(c，0)．

　　由题意直线l的方程为y＝(x－c)，令x＝0，

　　得点P坐标为(0，－c)．

　　又，由定比分点坐标公式可得点Q坐标(，)．

　　∵点Q在双曲线上，∴＝1　　①

　　又c²＝a²＋b²　　②

　　由①、②消去c，化简整理得

　　16()⁴－41()²－21＝0，解得＝　　③

　　又由已知有ab＝　　④

　　由③④得a＝1，b＝，

　　则所求双曲线方程为＝1．

　　又由对称性知，双曲线＝1也适合．

　　故所求双曲线方程为＝1，或＝1．