Question

四个纪念币A、B、C、D，投掷时正面向上的概率如下表所示（0＜a＜1）．

将这四个纪念币同时投掷一次，设ξ表示正面向上的纪念币的个数．
（Ⅰ）求ξ的取值及相应的概率；
（Ⅱ）求在概率p（ξ）中，p（ξ=2）为最大时，实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由题意知ξ可能取值为0，1，2，3，4．根据所给的四个纪念币投掷时正面向上的概率，根据这四个纪念币是否向上是相互独立的，结合变量对应的事件写出变量对应的概率．
（II）根据a是概率，得到a的范围，根据a的范围比较出两个概率之间的大小关系，p（ξ=0）＜p（ξ=1），p（ξ=4）＜p（ξ=3），要求p（ξ=2）为最大时a的值，只要比较与ξ=3，ξ=2与ξ=1的大小，解不等式组得到结果．

解答：解：（I）ξ可能取值为0，1，2，3，4．
其中p（ξ=0）=C₂⁰（1-

1

2

）²C₂⁰（1-a）2=

1

4

（1-a）²
p（ξ=1）=C₂¹

1

2

（1-

1

2

）C₂⁰（1-a）²+C₂⁰（1-

1

2

）²•C₂¹a（1-a）=

1

2

（1-a）
p（ξ=2）=C₂²（

1

2

）²C₂⁰（1-a）²+C₂¹

1

2

（1-

1

2

）C₂¹a（1-a）+C₂⁰（1-

1

2

）²•C₂²a ²=

1

4

（1+2a-2a ²）
p（ξ=3）=C₂²（

1

2

）²C₂¹a（1-a）+C₂¹

1

2

（1-

1

2

）C₂²a ²=

a

2

p（ξ=4）=C₂²（

1

2

）²C₂²a ²=

1

4

a ²
（II）∵0＜a＜1，
∴p（ξ=0）＜p（ξ=1），p（ξ=4）＜p（ξ=3）
又p（ξ=2）-p（ξ=1）=

1

4

（1+2a-2a²）-

1-a

2

=-

2a2-4a+1

4

≥0

1

4

（1+2a-2a ²）-

a

2

≥0
∴

2- 2

2

≤a≤

2+ 2

2

，-

2

2

≤a≤

2

2

解得a∈[

2- 2

2

，

2

2

]

点评：本题考查离散型随机变量的分布列，考查分布列中概率的性质，考查不等式组的解法，是一个综合题，解本题的关键是根据a的范围，看出五个概率之间的大小关系．