Question

（07年浙江卷文）已知点O在二面角α－AB－β的棱上，点P在α内，且∠POB＝45°．若对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°，则二面角α－AB－β的取值范围是_________．

Answer 1

答案：

解析：若二面角α－AB－β的大小为锐角，则过点P向平面作垂线,设垂足为H.

过H作AB的垂线交于C,连PC、CH、OH，则就是所求二面角的平面角.

根据题意得，由于对于β内异于O的任意一点Q，都有

∠POQ≥45°，∴，设PO=，则

又∵∠POB＝45°，∴OC=PC=，而在中应有

PC>PH ,∴显然矛盾，故二面角α－AB－β的大小不可能为锐角。

即二面角的范围是。

若二面角α－AB－β的大小为直角或钝角，则由于∠POB＝45°，结合图形容易判断对于β内异于O的任意一点Q，都有∠POQ≥45°。

即二面角的范围是。

【高考考点】二面角的求法及简单的推理判断能力

【易错点】：画不出相应的图形，从而乱判断。

【备考提示】：无论解析几何还是立体几何，借助于图形是我们解决问题的一个重要的方法，它可以将问题直观化，从而有助于问题的解决。