Question

【题目】设函数f（x）=x2+c，g（x）=aex的图象的一个公共点为P（2，t），且曲线y=f（x），y=g（x）在P点处有相同的切线，若函数f（x）﹣g（x）的负零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k= ．

Answer 1

【答案】﹣1
【解析】解：f′（x）=2x，g′（x）=aex，

∵曲线y=f（x），y=g（x）在P（2，t）点处有相同的切线，

∴f′（2）=g′（2），即4=ae2，①

又P为两曲线的公共点，

∴f（2）=g（2），即4+c=ae2，②

由①②解得c=0，a= ，

令h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣ ex=x2﹣4ex﹣2，

则h′（x）=2x﹣4ex﹣2，

当x≤0时，h′（x）＜0，∴h（x）在（﹣∞，0）上递减，

又h（﹣1）=1﹣4e﹣3＞0，h（0）=﹣4e﹣2＜0，

∴h（x）在（﹣1，0）内有唯一零点，

由题意知（k，k+1）=（﹣1，0），

∴k=﹣1．

所以答案是：﹣1．