Question

8．已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前五项和S₅=20，且a₁，a₃，a₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的求和公式和等比数列的性质，解方程可得a₁=2，d=1，再由等差数列的通项即可得到；
（2）求得b_n=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，运用裂项相消求和，求得T_n．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，
由已知得$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{5}=20}\\{{{a}_{3}}^{2}={a}_{1}{a}_{7}}\end{array}\right.$，
即为$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=20}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=4}\\{2{d}^{2}={a}_{1}d}\end{array}\right.$，由d≠0，即有$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=2}\\{d=1}\end{array}\right.$，
故a_n=2+n-1=n+1；
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴前n项和T_n=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

点评 本题考查等差数列的通项和求和公式的运用，同时考查等比数列的性质，以及数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．