Question

已知向量

b

与向量

a

=(2，-1，2)共线，且满足

a

•

b

=18，(k

a

+

b

)⊥(k

a

-

b

)，则

b

=

 

，k=

 

．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是空间向量的共线与垂直及数量积运算，我们要求向量

b

，我们可以根据向量

b

与向量

a

=(2，-1，2)共线，且满足

a

•

b

=18，结合向量共线的性质，构造方程进行解答，再由(k

a

+

b

)⊥(k

a

-

b

)结合向量垂直的性质，构造关于K的方程，解方程即可求出K值．

解答：解：∵向量

b

与向量

a

=(2，-1，2)共线，
且

a

•

b

=18，
∴向量

b

与向量

a

=(2，-1，2)同向
设

b

=λ

a

(λ＞0)，则

a

•

b

=18=λ|

a

|2
解得：λ=2
则

b

=（4，-2，4）
若(k

a

+

b

)⊥(k

a

-

b

)
则(k

a

+

b

)•(k

a

-

b

)
=(k+2)(k-2)

a

2=0
解得：k=±2
故答案为：（4，-2，4），±2

点评：如果两个非量平面向量平行（共线），则它们的方向相同或相反，此时他们的夹角为0或π．当它们同向时，夹角为0，此时向量的数量积，等于他们模的积；当它们反向时，夹角为π，此时向量的数量积，等于他们模的积的相反数．如果两个向量垂直，则它们的夹角为

π

2

，此时向量的数量积，等于0．判断两个向量的关系（平行或垂直）或是已知两个向量的关系求未知参数的值，要熟练掌握向量平行（共线）及垂直的坐标运算法则，即“两个向量若平行，交叉相乘差为0，两个向量若垂直，对应相乘和为0”．