Question

弦AB经过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则下列叙述中，错误的选项是

1. A.
   当AB与x垂直时，|AB|最小
2. B.
   |AB|=x₁+x₂+p
3. C.
   以弦AB为直径的圆与直线相离
4. D.
   y₁y₂=-p²

Answer 1

C
分析：根据抛物线方程可得焦点坐标，进而可设直线L的方程与抛物线联立根据韦达定理求得x₁+x₂，x₁x₂进而得出y₁y₂根据抛物线定义可求得|AB|的表达式，整理可得|AB|=2p（1+），由于k=tana，进而可知当a=90°时AB|有最小值．
解答：解；焦点F坐标（ ，0），设直线L过F，则直线L方程为y=k（x-）
联立y²=2px得k²x²-（pk²+2p）x+=0
由韦达定理得x₁+x₂=p+ x₁x₂=
∴y₁²y₂²=4p²x₁x₂=p⁴ y₁y₂=-p² ∴D正确
|AB|=x₁+x₂+=x₁+x₂+p=2p+=2p（1+）∴B正确
因为k=tana，所以1+=1+=
所以|AB|=
当a=90°时，即AB垂直于X轴时，AB取得最小值，最小值是|AB|=2p∴A正确
故选C
点评：本题主要考查抛物线的应用．这道题综合了抛物线的性质、抛物线的焦点弦、直线与抛物线的关系等问题．综合性很强．