Question

已知双曲线－＝1的离心率e＞1＋，左、右焦点分别为F₁，F₂，左准线为l，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得|PF₁|是P到l的距离d与|PF₂|的等比中项？

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本题为探索性命题，一般可先假设点P存在，再利用已知条件探求，若得出矛盾，则说明P点不存在，否则，便得到P的位置． 　　解答　　设在左半支上存在P点，使|PF1|2＝|PF2|·d，由双曲线的第二种定义知＝＝e， 　　即|PF2|＝|PF1|·e，　　　　　① 　　再由双曲线的第一定义，得 　　|PF2|－|PF1|＝2a，　　　　　　② 　　由式①、②，解得|PF1|＝，|PF2|＝． 　　因为△PF1F2中有|PF1|＋|PF2|≥2c， 　　∴＋≥2c．　　　　③ 　　利用e＝，从式③得e2－2e－1≤0， 　　解得1－≤e≤1＋， 　　∵e＞1， 　　∴1＜e≤1＋与已知e＞1＋矛盾． 　　∴符合条件的点P不存在． 　　评析　　1＜e≤1＋是双曲线－＝1，左支上存在P点，使|PF1|2＝|PF2|·d成立的充要条件，例如双曲线－＝1的离心率e＝＜1＋，则这样的P点一定存在．