Question

已知直线l：y=ax+1与双曲线C：3x²-y²=1相交于A、B两点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当实数a取何值时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．

Answer 1

分析：（1）把直线与双曲线方程联立消去y，利用二次项非0，且判别式大于0求得a的范围．
（2）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围，根据OA⊥OB，推断出y₁y₂=-x₁x₂．根据韦达定理表示出x₁x₂．进而根据直线方程表示出y₁y₂，代入y₁y₂=-x₁x₂．求得a．

解答：解（1）联立方程组

3x2-y2=1 y=ax+1

，得(3-a2)x2-2ax-2=0．  …（2分）
∵直线l与曲线C有两个交点A、B，
∴

3-a2≠0 △=4a2-4(3-a2)(-2)＞0

，即

a2≠3 a2＜6

．            …（4分）
∴实数a的取值范围是-

6

＜a＜

6

且a≠±

3

．      …（5分）
（2）设点A、B的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．            …（6分）
由（1）可知，

x1+x2= 2a 3-a2 x1x2= -2 3-a2

．
∵以线段AB为直径的圆经过原点，
∴

OA

⊥

OB

，即x₁x₂+y₁y₂=0．                         …（8分）
又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
即(a2+1)•

-2

3-a2

+a•

2a

3-a2

+1=0，解得a=±1（都满足（1）求出的条件）    …（11分）
∴a=±1时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．    …（12分）

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与双曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力．