Question

【题目】已知函数f (x)＝ex，g(x)＝x－b，b∈R．

（1）若函数f (x)的图象与函数g(x)的图象相切，求b的值；

（2）设T(x)＝f (x)＋ag(x)，a∈R，求函数T(x)的单调增区间；

（3）设h(x)＝|g(x)|·f (x)，b＜1．若存在x1，x2 [0，1]，使|h(x1)－h(x2)|＞1成立，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）b＝－1（2）见解析（3）(－∞，)

【解析】分析：（1）设切点为（t，et），由导数的几何意义，可得et=1，且et=t-b，即可得到b=-1；
（2）求出T（x）的导数，讨论当a≥0时，当a＜0时，由导数大于0，可得增区间；
（3）求出h（x）的分段函数，讨论x的范围，求得单调区间，对b讨论，求得h（x）的最值，由存在性思想，即可得到b的范围．

详解：

(1)设切点为(t，et)，因为函数f(x)的图象与函数g(x)的图象相切，

所以et＝1，且et＝t－b，

解得b＝－1．

（2)T(x)＝ex＋a(x－b)，T′(x)＝ex＋a．

当a≥0时，T′(x)＞0恒成立．

当a＜0时，由T′(x)＞0，得x＞ln(－a)．

所以，当a≥0时，函数T(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；

当a＜0时，函数T(x)的单调增区间为(ln(－a)，＋∞)．

（3) h(x)＝|g(x)|·f(x)＝

当x>b时，h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，＋∞)上为增函数；

当x<b时，h′(x)＝－(x－b＋1) ex，

因为b－1＜x＜b时，h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(b－1，b)上是减函数；

因为x＜b－1时， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(－∞，b－1)上是增函数．

当b≤0时，h(x)在(0，1)上为增函数．

所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(0)＝－b．

由h(x)max－h(x)min＞1，得b＜1，所以b≤0．

②当0＜b＜时，

因为b＜x＜1时， h′(x)＝(x－b＋1) ex＞0，所以h(x)在(b，1)上是增函数，

因为0＜x＜b时， h′(x)＝－(x－b＋1) ex＜0，所以h(x)在(0，b)上是减函数．

所以h(x)max＝h(1)＝(1－b)e，h(x)min＝h(b)＝0．

由h(x) max－h(x) min＞1，得b＜．

因为0＜b＜，所以0＜b＜．

③当≤b＜1时，

同理可得，h(x)在(0，b)上是减函数，在(b，1)上是增函数．

所以h(x)max＝h(0)＝b，h(x)min＝h(b)＝0．

因为b＜1，所以h(x)max－h(x)min＞1不成立．

综上，b的取值范围为(－∞，)．