Question

已知△OFQ的面积为2

6

，且

OF

•

FQ

=m，?
（1）设

6

＜m＜4

6

，求向量

OF

与

FQ

的夹角θ的取值范围；?
（2）设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q（如图），|

OF

|=c，m=（

6

4

-1）c²，当|

OQ

|取最小值时，求此双曲线的方程．

Answer 1

分析：（1）利用△OFQ的面积为2

6

，且

OF

•

FQ

=m，可求tanθ的值，根据m的范围，即可求得向量

OF

与

FQ

的夹角θ的取值范围；
（2）利用|

OF

|=c，

OF

•

FQ

═（

6

4

-1）c²，可求|

OQ

|，利用基本不等式求最小值，从而可求双曲线的方程．

解答：解：（1）由已知，△OFQ的面积为2

6

，且

OF

•

FQ

=m，得

1 2 | OF |•| FQ |sin(π-θ)=2 6 | OF |•| FQ |•cosθ=m

（2分）
∴tanθ=

4 6

m

，
∵

6

＜m＜4

6

，∴1＜tanθ＜4，
∴

π

4

＜θ＜arctan4．（6分）
（2）设所求的双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，（a＞0，b＞0），Q（x₁，y₁），则

FQ

=（x₁-c，y₁）
∵△OFQ的面积

1

2

|

OF

||y₁|=2

6

，∴y₁=±

4 6

c

，
又由

OF

•

FQ

=（c，0）•（x₁-c，y₁）=（x₁-c）c=（

6

4

-1）c²，∴x₁=

6

4

c，（8分）
|

OQ

|=

x12+y12

=

3c2 8 + 96 c2

≥

12

，当且仅当c=4时，|

OQ

|最小．
此时Q的坐标为（

6

，

6

），或（

6

，-

6

）．
由此可得

6 a2 - 6 b2 =1 a2+b2=16

，解得

a2=4 b2=12.

（11分）
故所求方程为

x2

4

-

y2

12

=1．（12分）

点评：本题考查向量知识的运用，考查双曲线标准方程的求解，考查基本不等式的运用，正确运用向量的数量积公式是关键．