【题目】已知定义在实数集上的偶函数和奇函数满足.
(1)求与的解析式;
(2)求证:在区间上单调递增;并求在区间的反函数;
(3)设(其中为常数),若对于恒成立,求的取值范围.
【答案】(1),;(2)见解析,,;(3)
【解析】
(1)利用函数的奇偶性构造,解出两个函数的解析式;
(2)由(1)可知,利用定义证明函数的单调性,令,整理为,解得,再求反函数;
(3)在单调递增,∴, 对于恒成立,然后利用参变分离为对于恒成立,求的取值范围.
(1)①,
因为是偶函数,是奇函数,所以有,即②
∵,定义在实数集上,
由①和②解得,,.
(2),当且仅当,即时等号成立.对于任意,,
因为,所以,,,,,,
从而,所以当时,递增.
设,则,令,则.再由解得,即.
因为,所以,
因此的反函数,.
(3)∵在单调递增,∴.
∴对于恒成立,∴对于恒成立,
令,则,当且仅当时,等号成立,且,
所以在区间上单调递减,∴,
∴为的取值范围.
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【题目】若X是一个集合,是一个以X的某些子集为元素的集合,且满足:①X属于,属于;②中任意多个元素的并集属于;③中任意多个元素的交集属于.则称是集合X上的一个拓扑.已知集合,对于下面给出的四个集合:
①;
②;
③;
④.
其中是集合X上的拓扑的集合的序号是________.
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【题目】设数列的前n项和为,且,
(1)求的值,并求出及数列的通项公式;
(2)设求数列的前n项和
(3)设在数列中取出(为常数)项,按照原来的顺序排成一列,构成等比数列.若对任意的数列,均有试求的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度,沿y轴正方向平移5个单位长度,得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度,沿y轴负方向平移2个单位长度,又与直线l重合.若直线l与直线l1关于点(2,3)对称,则直线l的方程是________________.
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【题目】设和是双曲线上的两点,线段的中点为,直线不经过坐标原点.
(1)若直线和直线的斜率都存在且分别为和,求证:;
(2)若双曲线的焦点分别为、,点的坐标为,直线的斜率为,求由四点、、、所围成四边形的面积.
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【题目】已知椭圆的右焦点为,且点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)当点在椭圆的图像上运动时,点在曲线上运动,求曲线的轨迹方程,并指出该曲线是什么图形;
(3)过椭圆上异于其顶点的任意一点作曲线的两条切线,切点分别为不在坐标轴上),若直线在轴,轴上的截距分别为试问:是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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