Question

求适合下列条件的双曲线方程．
（1）焦点在y轴上，且过点（3，-4

2

）、（

9

4

，5）．
（2）已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0，且双曲线经过点P（

6

，2）．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由于焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a，b＞0），代入点（3，-4

2

）、（

9

4

，5），列出方程组，解出即可得到；
（2）由双曲线的渐近线方程y=±

2

3

x，可设双曲线方程为

x2

9

-

y2

4

=λ（λ≠0），再代入点P（

6

，2），解出λ的值，即可得到双曲线的方程．

解答： 解：（1）由于焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a，b＞0），
由于过点（3，-4

2

）、（

9

4

，5），
则

32 a2 - 9 b2 =1 25 a2 - 81 16b2 =1

，解得

a2=16 b2=9

，
则有双曲线的标准方程为：

y2

16

-

x2

9

=1；
（2）由双曲线的渐近线方程y=±

2

3

x，可设双曲线方程为

x2

9

-

y2

4

=λ（λ≠0）．
由于双曲线过点P（

6

，2），即有

6

9

-

4

4

=λ，解得λ=-

1

3

，
故所求双曲线方程为

3

4

y²-

1

3

x²=1．

点评：本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，求双曲线的标准方程，先确定标准方程的形式，再根据条件求出 a，b，同时注意渐近线方程与双曲线方程的关系，考查运算能力，属于中档题．