Question

【题目】设函数 ．
（1）用含a的式子表示b；
（2）令F（x）= ，其图象上任意一点P（x0 ， y0）处切线的斜率 恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若a=2，试求f（x）在区间 上的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），

∵f′（x）= ﹣ax+b，

f′（1）=1﹣a+b=0，

∴b=a+1

（2）解：F（x）=lnx+ ，

∴F′（x）= ﹣ =

∴k=F′（x）= ≤ 在（0，3]上恒成立，

∴a≥（﹣ x02+x0）max，x0∈（0，3]，

当x0=1时，﹣ x02+x0的取得最大值 ，

∴a≥

（3）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣x2+x，

∴f′（x）= ﹣2x+1= ，

令f′（x）=0，解得x=1或x=﹣ （舍去），

当0＜x＜1时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增，

当x＞1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减，

当c+ ≤1，即0＜c≤ 时，f（x）区间 上单调递增，

∴f（x）max=f（c+ ）=ln（c+ ）﹣（c+ ）2+c+ =ln（c+ ）+ ﹣c2，

当 ．即 ＜c＜1时，f（x）在[c，1]上单调递增，在[1，c+ ]上单调递减，

∴f（x）max=f（1）=0，

当c≥1时，f（x）在[c，c+ ]上单调递减，

∴f（x）max=f（c）=lnc﹣c2+c，

综上所述，当0＜c≤ 时，f（x）max=ln（c+ ）+ ﹣c2，

当 ＜c＜1时，f（x）max=0，

当c≥1时，f（x）max=lnc﹣c2+c

【解析】（1）先求导，再代值计算即可得到b=a+1；（2）根据导数的几何意义求出直线的斜率，再根据二次函数的性质求出a的范围；（3）求导，分类讨论，根据导数和函数的最大值得关系即可求出．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的最大(小)值与导数的相关知识，掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．