已知函数为常数,e是自然对数的底数.
(Ⅰ)当时,证明
恒成立;
(Ⅱ)若,且对于任意
,
恒成立,试确定实数
的取值范围.
(Ⅰ)确定函数有最小值,所以
恒成立.
(Ⅱ)实数的取值范围是
.
解析试题分析:(Ⅰ)由得
,所以
.
由得
,故
的单调递增区间是
,
由得
,故
的单调递减区间是
.
所以函数有最小值,所以
恒成立.
(Ⅱ)由可知
是偶函数.
于是对任意
成立等价于
对任意
成立.
由得
.
①当时,
.
此时在
上单调递增.
故,符合题意.
②当时,
.
当变化时
的变化情况如下表:
由此可得,在单调递减 极小值 单调递增 上,
.
依题意,,又
.
综合①,②得,实数的取值范围是
.
考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性、最值及不等式恒成立问题。
点评:典型题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究函数的单调性,明确了极值情况。涉及不等式恒成立问题,转化成了研究函数的单调性及最值,得到求证不等式。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设函数.
(1)求函数的单调区间和极值。
(2)若关于的方程
有三个不同实根,求实数
的取值范围;
(3)已知当(1,+∞)时,
恒成立,求实数
的取值范围.
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