Question

4．设P（x₀，y₀）是圆O：x²+y²=$\frac{2}{3}$外的动点，过P的直线与圆O相切，切点为A，B，设切线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，且满足k₁k₂=-$\frac{1}{2}$．
（1）求点P的轨迹方程C；
（2）若动直线l₁，l₂均与C相切，且l₁∥l₂，试探究在x轴上是否存在定点Q，点Q到l₁，l₂的距离之积恒为1？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用直线与圆相切的充要条件即可得出；
（2）当直线l₁，l₂斜率存在时，设其方程为y=kx+m，y=kx+n，把l₁的方程代入椭圆方程得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，根据直线l₁与椭圆C相切，△=0，再利用点到直线的距离公式即可得出．当直线l₁，l₂斜率不存在时，直接验证即可．

解答 解：（1）设过P（x₀，y₀）的切线方程是y-y₀=k（x-x₀），
即kx-y+y₀-kx₀=0，
∵它和圆相切得：d=$\frac{|{y}_{0}-k{x}_{0}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}$，
化简得：$（3{x}_{0}^{2}-2）{k}^{2}$-6x₀y₀k+$3{y}_{0}^{2}$-2=0，
∴k₁k₂=-$\frac{1}{2}$=$\frac{3{y}_{0}^{2}-2}{3{x}_{0}^{2}-2}$．即$\frac{{x}_{0}^{2}}{2}+{y}_{0}^{2}$=1$（{x}_{0}^{2}≠\frac{2}{3}）$．
∴C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1（{x}^{2}≠\frac{2}{3}）$．
（2）①当直线l₁，l₂斜率存在时，设其方程为y=kx+m，y=kx+n，
把l₁的方程代入椭圆方程得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-2=0，
∵直线l₁与椭圆C相切，∴△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）=0，化简得
m²=1+2k²，
同理，n²=1=2k²，
∴m²=n²，若m=n，则l₁，l₂重合，不合题意，∴m=-n．
设在x轴上存在点Q（t，0），点Q到直线l₁，l₂的距离之积为1，则$\frac{|kt+m|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$$•\frac{|kt+n|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，即|k²t²-m²|=k²+1，
把得m²=1+2k²代入并去绝对值整理，k²（t²-3）=2或者k²（t²-1）=0，
前式对任意的k显然不恒成立；而要使得后式对任意的k∈R恒成立，
则t²-1=0，解得t=±1；
②当直线l₁，l₂斜率不存在时，其方程为$x=±\sqrt{2}$，
定点（-1，0）到直线l₁，l₂的距离之积为$（\sqrt{2}-1）•（\sqrt{2}+1）$=1；
定点（1，0）到直线l₁，l₂的距离之积为$（\sqrt{2}-1）•（\sqrt{2}+1）$=1．；
综上所述，满足题意的定点Q为（±1，0）．

点评 本题考查了直线与椭圆及其圆的位置关系、点到直线的距离公式、一元二次方程的实数解与判别式的关系，考查了推理能力、分类讨论方法与计算能力，属于中档题．