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3.已知函数f(x)=log3(x+a),g(x)=log3(-x+2a-$\frac{1}{2}$),且f(4)-f(1)=1.
(1)求a的值;
(2)令F(x)=f(x)+g(x),判断函数F(x)的奇偶性.

分析 (1)根据对数方程进行求解即可求a的值;
(2)根据函数奇偶性的定义进行判断即可.

解答 解:(1)∵f(4)-f(1)=1,
∴log3(4+a)-log3(1+a)=1,
即log3($\frac{4+a}{1+a}$)=1,
即$\frac{4+a}{1+a}$=3,得4+a=3+3a,
解得a=$\frac{1}{2}$;
(2)当a=$\frac{1}{2}$时,f(x)=log3(x+$\frac{1}{2}$),g(x)=log3(-x+$\frac{1}{2}$),
则F(x)=f(x)+g(x)=log3(x+$\frac{1}{2}$)+log3(-x+$\frac{1}{2}$),
由$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}>0}\\{-x+\frac{1}{2}>0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x>-\frac{1}{2}}\\{x<\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,即-$\frac{1}{2}$<x<$\frac{1}{2}$,
则F(-x)=log3(-x+$\frac{1}{2}$)+log3(x+$\frac{1}{2}$)=log3(x+$\frac{1}{2}$)+log3(-x+$\frac{1}{2}$)=F(x),
则函数F(x)是偶函数.

点评 本题主要考查函数奇偶性的判断,以及对数方程的求解,利用对数函数的运算法则以及函数奇偶性的定义是解决本题的关键.

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