Question

（2009•湖北模拟）已知点F₁、F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若A、B和双曲线的一个顶点构成的三角形为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A．（1，1+

  2

  ）
• B．（1，

  3

  ）
• C．（

  2

  -1，1+

  2

  ）
• D．（1，2）

Answer 1

分析：根据双曲线的对称性，得到等腰△ABE中，∠AEB为锐角，可得|AF₁|＜|EF₁|，将此式转化为关于a、c的不等式，化简整理即可得到该双曲线的离心率e的取值范围．

解答：：解：根据双曲线的对称性，得
△ABE中，|AE|=|BE|，
∴△ABE是锐角三角形，即∠AEB为锐角
由此可得Rt△AF₁E中，∠AEF＜45°，得|AF₁|＜|EF₁|
∵|AF₁|=

b2

a2

=

c2-a2

a

，|EF₁|=a+c
∴

c2-a2

a

＜a+c，即2a²+ac-c²＞0
两边都除以a²，得e²-e-2＜0，解之得-1＜e＜2
∵双曲线的离心率e＞1
∴该双曲线的离心率e的取值范围是（1，2）
故选D．

点评：本题给出双曲线过一个焦点的通径与另一个顶点构成锐角三角形，求双曲线离心率的范围，着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．