Question

设正数数列{a_n}的前n项之和是b_n，数列{b_n}前n项之积是c_n，且b_n+c_n=1，则数列中最接近108的项是第    项．

Answer 1

【答案】分析：由题意可得，，由b_n+c_n=1可得b_n+1=b_n+1（b_n+c_n）=b_n+1b_n+b_n+1C_n=b_n+1b_n+c_n+1=b_nb_n+1+1-b_n+1即2b_n+1-b_nb_n+1-1=0，则b_n+1-1=b_n+1（b_n-1）=（b_n-1）（b_n+1-1+1）=（b_n-1）（b_n+1-1）+（b_n-1），从而可得，由等差数列的通项公式可得，可求，利用递推公式a_n=b_n-b_n-1可求a_n
解答：解：由题意可得，
b_n+c_n=1
∴b_n+1=b_n+1（b_n+c_n）=b_n+1b_n+b_n+1C_n
=b_n+1b_n+c_n+1=b_nb_n+1+1-b_n+1
∴2b_n+1-b_nb_n+1-1=0
∴b_n+1（2-b_n）=1
∴0＜b_n＜2
若b_n+1=1则b_n=1，b_n-1=b_n-2=…=b₁=1与矛盾
∴b_n+1≠1
∴b_n+1-1=b_n+1（b_n-1）
=（b_n-1）（b_n+1-1+1）
=（b_n-1）（b_n+1-1）+（b_n-1）
∴
∴且
∴是以-2为首项，以-1为公差的等差数列
由等差数列的通项公式可得，=-n-1
∴
∴a_n=b_n-b_n-1==
∴
当n=10时，10×11=110，当n=11时，11×12=132，当n=9时，9×10=90，
故答案为：10
点评：本题目主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项，解题中的构造特殊的等差数列是解答本题的关键，对本题要求考生具备一定的逻辑推理的能力