Question

2．（1）已知一次函数f（x）满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求函数f（x）的解析式．
（2）已知二次函数f（x）满足f（0）=1时，f（x+1）-f（x）=2x，求函数f（x）的解析式．
（3）已知2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=2x+1，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由题意设f（x）=ax+b，利用f（x）满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，利用恒等式的对应项系数相等即可得出；
（2）要求二次函数的解析式，利用直接设解析式的方法，一定要注意二次项系数不等于零，在解答的过程中使用系数的对应关系，解方程组求的结果；
（3）首先，在所给的等式中，等号两边同时以$\frac{1}{x}$代x，得到一个方程组，把f（x）当做未知数，求解即可．

解答 解：（1）由题意设f（x）=ax+b，（a≠0）．
∵f（x）满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，
∴3[a（x+1）+b]-2[a（x-1）+b]=2x+17，
化为ax+（5a+b）=2x+17，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{5a+b=17}\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴f（x）=2x+7．
（2）设二次函数的解析式为f（x）=ax²+bx+c （a≠0）
由f（0）=1得c=1，
故f（x）=ax²+bx+1．
因为f（x+1）-f（x）=2x，
所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，
根据系数对应相等$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
所以f（x）=x²-x+1；
（3）∵2f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=2x+1，①
等号两边同时以$\frac{1}{x}$代x，
得：2f（$\frac{1}{x}$）+f（x）=$\frac{2}{x}$+1，②
联立①②，
由①×2-②，解得：
f（x）=$\frac{4}{3}$x-$\frac{2}{3x}$+$\frac{1}{3}$，（x≠0）．

点评 本题重点考查函数解析式的求解方法，构造法在解题中的应用，属于中档题．