Question

设向量

p

=（x，1），

q

=（x+a，2），（x∈R） 函数f（x）=

p

•

q

．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，求不等式f（x）≥1-x²的解集；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+x²+1在区间（1，2）上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用数量积运算可得f(x)=

p

•

q

=x²+ax+2，由于不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，可知：1+2=-a，解得a，进而利用一元二次不等式的解法即可得出
f（x）≥1-x²解集．
（II）g（x）=2x²+ax+3在区间（1，2）上有两个不同的零点，可得

g(1)＞0 g(2)＞0 1＜- a 4 ＜2 △=a2-24＞0

   解出即可．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

p

•

q

=x（x+a）+2=x²+ax+2，
∵不等式f（x）≤0的解集为[1，2]，
∴1+2=-a，解得a=-3．
可得f（x）=x²-3x+2．                          
由不等式f（x）≥1-x²可得，1-x²≤x²-3x+2，
化为2x²-3x+1≥0，解得x≤

1

2

或x≥1，
∴不等式f（x）≥1-x²的解集为{x|x≤

1

2

或x≥1}．
（Ⅱ）g（x）=2x²+ax+3在区间（1，2）上有两个不同的零点，则

g(1)＞0 g(2)＞0 1＜- a 4 ＜2 △=a2-24＞0

        
 即

a+5＞0 2a+11＞0 -8＜a＜-4 a＜-2 6 或a＞2 6

，
解得：-5＜a＜-2

6

．
∴a的取值范围是(-5，-2

6

)．

点评：本题考查了数量积运算法则、一元二次不等式的解法、二次函数的零点与二次函数的图象性质之间的关系，属于中档题．