Question

【题目】已知函数f(x)＝x－1＋ (a∈R，e为自然对数的底数)．

(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；

(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．

Answer 1

【答案】（1）e（2）（y＝(1－e)x－1.

【解析】

（1）依题意，f′（1）=0，从而可求得a的值；

（2）设切点为（x0，y0），求出函数的切线方程，求出k即可得到结论．

解　(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.

(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.

设切点为(x0，y0)，

∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①

f′(x0)＝1－＝k，②

①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.

若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.

∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.