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已知函数f(x)=2cos2
ωx
2
+cos(ωx+
π
3
)
,(其中ω>0)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求ω的值,并求函数f(x)的单调递减区间;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f(A)=-
1
2
,c=3
,△ABC的面积为6
3
,求△ABC的外接圆面积.
分析:(Ⅰ)利用二倍角公式以及两角和的正弦函数,化简函数的表达式,通过函数的周期,求出ω,然后求出函数的单调减区间.
(Ⅱ)利用第一问的结果,求出锐角三角形的角A,通过正弦定理求出三角形的外接圆的半径,然后求解外接圆的面积.
解答:解:(Ⅰ)由已知得f(x)=1+cosωx+
1
2
cosωx-
3
2
sinωx
=1+
3
2
cosωx-
3
2
sinωx
=1-
3
sin(ωx-
π
3
),
于是有
ω
=π,ω
=2.
∴函数f(x)的单调递减区间[kπ-
π
12
,kπ+
12
],k∈Z.
(Ⅱ)由(Ⅰ)以及已知可得f(A)=1-
3
sin(2A-
π
3
)=-
1
2

即sin(2A-
π
3
)=
3
2
,又三角形是锐角三角形,所以A=
π
3

△ABC的外接圆的半径为
a
2sinA
=
7
3
=
7
3
3

△ABC的外接圆的面积为
49π
3
点评:本题考查两角和的正弦函数的应用,正弦定理,三角函数的单调减区间的求法,外接圆的面积的求法,考查计算能力.
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3
3

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3
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3
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+
2-2cos(
3
-x)
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3
3
时,函数f(x)有最大值,最大值为
2
3
2
3

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