Question

选修4-1：几何证明选讲
如图，AB为圆O的直径，BE为圆O的切线，点C为圆O上不同于A、B的一点，AD为∠BAC的平分线，且分别与BC交于H，与圆O交于D，与BE交于E，连结BD、CD．
（Ⅰ）求证：∠DBE=∠DBC
（Ⅱ）若EH=BE=a，求AH．

Answer 1

分析：（I）由AD为∠BAC的平分线得

BD

=

CD

，得出∠DBC=∠BCD，再由弦切角定理得到∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；
（II）根据AB为圆O的直径得BD⊥AD，在△BEH利用“三线合一”证出BH=BE，结合EH=BE=a，得到△BEH是边长为a的等边三角形，可得∠E=60°．最后在Rt△ABE中利用三角函数的定义算出AE=2BE=2a，从而可得AH=AE-EH=a．

解答：解：（I）∵AD为∠BAC的平分线，即∠DAB=∠DAC，
∴

BD

=

CD

，可得∠DBC=∠BCD，
又∵BE与圆O相切于点B，
∴∠DBE=∠BCD，可得∠DBE=∠DBC；
（II）∵AB为圆O的直径，∴BD⊥AD，
又∵△BEH中，∠DBE=∠DBC，BD⊥EH，∴BH=BE，
∵EH=BE=a，∴△BEH是边长为a的等边三角形，可得∠E=60°，
因此Rt△ABE中，cos∠E=

BE

AB

=

1

2

，可得AE=2BE=2a，
∴AH=AE-EH=a．

点评：本题给出圆的直径与切线，求证角相等并求线段的长．着重考查了圆的直径的性质、等腰三角形的判定与性质、圆周角定理与弦切角定理等知识，属于中档题．