Question

如图，设抛物线C的方程为y²=4x，O为坐标原点，P为抛物线的准线与其对称轴的交点，过焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点，若直线PM与ON相交于点Q，则cos∠MQN=    ．

Answer 1

【答案】分析：由物线C的方程为y²=4x，知P（-1，0），F（1，0），由焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点，知M（1，2），N（1，-2），所以直线PM的方程为y=x+1，直线ON的方程为y=-2x，解方程组，得Q（-，）．所以，，由此能求出cos∠MQN．
解答：解：如图，∵物线C的方程为y²=4x，O为坐标原点，
P为抛物线的准线与其对称轴的交点，
∴P（-1，0），
F（1，0），
∵焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于M、N两点，
∴M（1，2），N（1，-2），
∵直线PM过P（-1，0），M（1，2），
∴直线PM的方程为，即y=x+1，
∵直线NO过点O（0，0），N（1，-2），
∴直线ON的方程是，即y=-2x，
∴解方程组，得Q（-，）．
∴，，
∴cos∠MQN=cos＜＞==-．
故答案为：-．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，难度大，是高考的重点，易错点是抛物线知识体系不牢固．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．