【题目】某宾馆在装修时,为了美观,欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形,并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域,其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形,现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口.
(1)若窗口ABCD为正方形,且面积大于 m2(木条宽度忽略不计),求四根木条总长的取值范围;
(2)若四根木条总长为6m,求窗口ABCD面积的最大值.
【答案】
(1)解:设一根木条长为xcm,则正方形的边长为2 = ,
∵SABCD> ,
∴4﹣x2> ,
∴x< ,
∵四根木条将圆分成9个区域,
∴x> ,
∴4 <x<2 ;
(2)解:设AB所在木条长为am,CD所在木条长为bm,
由条件,2a+2b=6,则a+b=3,
∵a,b∈(0,2),
∴b=3﹣a∈(0,2),∴a,b∈(1,2).
∵AB=2 ,BD=2 ,
∴SABCD=4 = ≤ ≤ = ,
当且仅当a=b= ∈(1,2)时,SABCD= ,
答:窗口ABCD面积的最大值为
【解析】(1)求出正方形的边长,可得正方形的面积,利用面积大于 m2 , 即可求四根木条总长的取值范围;(2)设AB所在木条长为am,CD所在木条长为bm,求出AB,BD,可得窗口ABCD面积,利用基本不等式求窗口ABCD面积的最大值.
【考点精析】利用基本不等式在最值问题中的应用对题目进行判断即可得到答案,需要熟知用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大),要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”.
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【题目】设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意的x∈R,都有f(x+4)=f(x),且当x∈[﹣2,0]时,f(x)=( )x﹣6,若在区间(﹣2,6]内关于x的方程f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有3个不同的实数根,求实数a的取值范围是( )
A.(1,2)
B.(2,+∞)
C.
D.
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【题目】观察以下各等式:
tan 30°+tan 30°+tan 120°=tan 30°·tan 30°·tan 120°,
tan 60°+tan 60°+tan 60°=tan 60°·tan 60°·tan 60°,
tan 30°+tan 45°+tan 105°=tan 30°·tan 45°·tan 105°.
分析上述各式的共同特点,猜想出表示的一般规律,并加以证明.
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【题目】已知函数f(x)=x2+ax(a∈R),g(x)= (f′(x)为f(x)的导函数),若方程g(f(x))=0有四个不等的实根,则a的取值范围是 .
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x﹣1)2+y2=2,圆C2:(x﹣m)2+(y+m)2=m2 . 圆C2上存在点P满足:过点P向圆C1作两条切线PA,PB,切点为A,B,△ABP的面积为1,则正数m的取值范围是 .
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (α为参数)以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为 .若直线l与曲线C交于A,B,求线段AB的长.
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【题目】某高校共有学生15 000人,其中男生10 500人,女生4500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间(单位:h)的样本数据.
(1)应收集多少位女生的样本数据?
(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据的分组区间为[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4 h的概率.
(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4 h,请完成下面的2×2列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”?
男生 | 女生 | 总计 | |
每周平均体育运动时间不超过4h | |||
每周平均体育运动时间超过4h | |||
总计 |
附:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
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【题目】已知非空集合M满足M{0,1,2,…,n}(n≥2,n∈N+).若存在非负整数k(k≤n),使得当a∈M时,均有2k﹣a∈M,则称集合M具有性质P.设具有性质P的集合M的个数为f(n).
(1)求f(2)的值;
(2)求f(n)的表达式.
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