Question

如下图所示，O为△ABC的外心，H为其垂心．求证＝＋＋．并由此推断，已知O是△ABC的外心(或内心，或垂心)，如果满足＋＋＝0，那么该三角形是什么形状？

Answer 1

答案：
解析：

证明：∵O为△ABC的外心，如图，作△ABC的外接圆的直径BD，连结AD，CD，则 　　＝－，且有DA⊥AB，DC⊥BC， 　　又H为△ABC的垂心，连结AH，CH，则 　　AH⊥BC，CH⊥AB． 　　得四边形AHCD为平行四边形，则＝． 　　又＝－＝＋， 　　∴＝＋＝＋＝＋＋． 　　若已知O是△ABC的外心，设△ABC的垂心为H． 　　由已证结论知＋＋＝，又依题设知＋＋＝0， 　　∴＝0，即△ABC的外心与垂心重合． 　　∴△ABC为等边三角形． 　　当O为内心或垂心时，同理可证△ABC为等边三角形．

提示：

本题的关键是利用外心和垂心的概念，将通过转化为＋．其中辅助线的作用不可忽视．