Question

14．已知椭圆的焦点是F₁（-1，0）和F₂（1，0），又过点（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求椭圆的离心率；
（2）又设点P在这个椭圆上，且|PF₁|-|PF₂|=1，求∠F₁PF₂的余弦的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知结合椭圆定义求得2a，则椭圆离心率可求；
（2）联立|PF₁|+|PF₂|=4，|PF₁|-|PF₂|=1，求出|PF₁|、|PF₂|的值，在三角形F₁PF₂中，利用余弦定理求得∠F₁PF₂的余弦的大小．

解答 解：（1）由题意知，c=1，
2a=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}+\sqrt{（1-1）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}$=4，即a=2，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$；
（2）由|PF₁|+|PF₂|=2a=4，|PF₁|-|PF₂|=1，
联立可得：|PF₁|=$\frac{5}{2}$，|PF₂|=$\frac{3}{2}$，
又|F₁F₂|=2c=2，
∴cos∠F₁PF₂ =$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}-{2}^{2}}{2×\frac{5}{2}×\frac{3}{2}}=\frac{3}{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆的定义，涉及椭圆焦点三角形问题，常用椭圆定义和余弦定理解决，是中档题．