Question

已知函数f（x）=-x²-x+a，g（x）=

f(x)， x≤2 f(x-1)+2， x＞2

且函数y=g（x）-ax恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：计算题,作图题,函数的性质及应用

分析：由题意化简g（x）=

-x2-x+a，x≤2 -x2+x+2+a，x＞2

；令G（x）=

-x2-x，x≤2 -x2+x+2，x＞2

，F（x）=ax-a；从而化函数y=g（x）-ax恰有三个不同的零点为G（x）与F（x）恰有三个不同的交点，从而作图求解．

解答： 解：f（x-1）=-（x-1）²-（x-1）+a=-x²+x+a；
故g（x）=

-x2-x+a，x≤2 -x2+x+2+a，x＞2

；
令G（x）=

-x2-x，x≤2 -x2+x+2，x＞2

，F（x）=ax-a；
则函数y=g（x）-ax恰有三个不同的零点可化为
G（x）与F（x）恰有三个不同的交点，
作函数G（x）与F（x）的图象如下，

结合图象知，a＜0；
当直线与曲线相切时取临界值，
设切点为（x，-x²-x）；
则f′（x）=-2x-1=

-x2-x

x-1

；
解得，x=1-

2

；故a=-2（1-

2

）-1=2

2

-3；
故实数a的取值范围为（2

2

-3，0）；
故答案为：（2

2

-3，0）．

点评：本题考查了分段函数的化简与应用，同时考查了函数的零点与函数的交点的关系应用，属于中档题．