Question

7．已知公差大于零的等差数列{a_n}满足a₃•a₄=108，a₂+a₅=21；数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b₁=1，b₂=3，S_n+1=4S_n-3S_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得a₃，a₄是x²-21x+108=0的两个根，解方程x²-21x+108=0，得a₃=9，a₄=12，利用等差数列通项公式能求出首项与公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式；由已知推导出S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），S₂-S₁=3，由此能求出数列{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=a_n•b_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ，利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和．

解答 解：（1）∵公差大于零的等差数列{a_n}满足a₃•a₄=108，a₂+a₅=21，
∴a₃+a₄=21，a₃＜a₄，
∴a₃，a₄是x²-21x+108=0的两个根，
解方程x²-21x+108=0，得a₃=9，a₄=12，
∴d=a₄-a₃=12-9=3，
a₁+2×3=9，解得a₁=3，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n．
∵数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b₁=1，b₂=3，S_n+1=4S_n-3S_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴S_n+1-S_n=3（S_n-S_n-1），S₂-S₁=3，
∴{S_n+1-S_n}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴${S}_{n+1}-{S}_{n}={b}_{n+1}={3}^{n}$，
∴${b}_{n}={3}^{n-1}$．
n=1时，上式成立，
∴${b}_{n}={3}^{n-1}$．
（2）c_n=a_n•b_n=3n•3^n-1=n•3ⁿ，
∴数列{c_n}的前n项和：
T_n=1•3+2•3²+3•3³+…+n•3ⁿ，①
3T_n=1•3²+2•3³+3•3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②得，-2T_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$-n•3ⁿ⁺¹
=（$\frac{1}{2}-n$）•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}（n-\frac{1}{2}）•{3}^{n+1}$+$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查数列的通项公式、前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法和错位相减法的合理运用．