Question

平面直角坐标系有点P（1，cosx），Q（cosx，1），x∈[-

π

4

，

π

4

]；
（1）求向量

OP

和

OQ

的夹角θ的余弦用x表示的函数f（x）；
（2）求cosθ的最值．

Answer 1

分析：（1）由已知可求

OP

，

OQ

，代入cosθ=

OP • OQ

| OP || OQ |

即可求解
（2）由（1）可求f（x）=cosθ=

OP • OQ

| OP || OQ |

，由x的范围可求cosθ的范围，结合函数的单调性即可求cosθ的最小值

解答：解：（1）∵P（1，cosx），Q（cosx，1），
∴

OP

=（1，cosx），

OQ

=（cosx，1）
∴

OP

•

OQ

=2cosx，|

OP

||

OQ

|=1+cos²x
∴cosθ=

OP • OQ

| OP || OQ |

=

2cosx

1+cos2x

=f（x）　
（2）f（x）=cosθ=

OP • OQ

| OP || OQ |

=

2cosx

1+cos2x

=

2

cosx+ 1 cosx

且x∈[-

π

4

，

π

4

]
∴cosθ∈[

2

2

，1]　
令g（x）=x+

1

x

设x₁，x₂∈[

2

2

，1]，且x₁＜x₂
∵g′(x)=1-

1

x2

＜0在[

2

2

，1]上恒成立（此处也可以利用单调性的定义判断）
∴g（x）=x+

1

x

在[

2

2

，1]上是减函数．
∴2≤cosx+

1

cosx

≤

3 2

2

∴

2 2

3

≤f(x)≤1　即

2 2

3

≤cosθ≤1

点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示，向量与 三角函数及函数的单调性等知识的综合应用．