Question

已知实系数方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的两根分别为一个椭圆和一个双曲线的离心率，则

b

a

的取值范围是（　　）

• A、（-2，-1）
• B、(-1，-

  1

  2

  )
• C、(-2，-

  1

  2

  )
• D、（-2，+∞）

Answer 1

分析：实系数方程x²+（a+1）x+a+b+1=0的两个根x₁，x₂分别作为椭圆和双曲线的离心率，根据判别式大于0，令a为横轴，b为纵轴，建立平面直角坐标系，作出这三个不等式所对应的平面区域S，设P（a，b）是平面区域S内的任意一点，A（-1，1），则可知

b

a

的几何意义是直线的斜率，进而可求得范围．

解答：解：f（x）=x²+（a+1）x+（a+b+1）
依题意f（x）=0的两个根x₁，x₂分别作为椭圆和双曲线的离心率
故 0＜x₁＜1＜x₂
根据一元二次方程根的分布，可得关于实系数a，b的约束条件：
判别式=（a+1）²-4（a+b+1）=（a-1）²-4b-4＞0
f（0）=a+b+1＞0，f（1）=2a+b+3＜0
令a为横轴，b为纵轴，建立平面直角坐标系，作出这三个不等式所对应的平面区域S，
设P（a，b）是平面区域S内的任意一点，A（-1，1），k=

b

a

则k的几何意义是直线PA的斜率．
作图，得-2＜k＜-

1

2

故选C

点评：本题主要考查了圆锥曲线的综合知识．涉及到了函数的根的分布，多项式恒等等知识．属中档题．