Question

设函数.
（I）求函数的最小值；
（Ⅱ）若，且，求证：；
（Ⅲ）若，且，
求证：.

Answer 1

解：（I），

令，得，所以在递减，在递增.
所以.
（Ⅱ）


由（I）知当时，，
又，，∴
∴.
（Ⅲ）用数学归纳法证明如下：1°当时，由（Ⅱ）可知，不等式成立；
2°假设()时不等式成立，
即若，且时，
不等式成立
现需证当()时不等式也成立，
即证：若，且时，不等式
成立.
证明如下：设，则


......①
同理
     .....②
由①+②得：

又由（Ⅱ）令，则，其中，
则有
∴∴

∴当时，原不等式也成立.
综上，由1°和2°可知，对任意的原不等式均成立.

略