Question

（05年北京卷理）（14分）

设是定义在[0，1]上的函数，若存在，使得在[0，]上单调递增，在[，1]单调递减，则称为[0，1]上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间为含峰区间对任意的[0，1]上的单峰函数，下面研究缩短其含峰区间长度的方法

（Ⅰ）证明：对任意的 , ,若，则（0，）为含峰区间；若，则（，1）为含峰区间；

（Ⅱ）对给定的（0<<0.5），证明：存在,满足，使得由（Ⅰ）确定的含峰区间的长度不大于0.5+;

(Ⅲ)选取, 由（Ⅰ）可确定含峰区间为（0，）或（，1），在所得的含峰区间内选取,由与或与类似地可确定是一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为（0，）的情况下，试确定的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34

（区间长度等于区间的右端点与左端点之差）

Answer 1

解析：（I）证明：设x*为f(x) 的峰点，则由单峰函数定义可知，f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*, 1]上单调递减．

    当f(x₁)≥f(x₂)时，假设x*(0, x₂)，则x₁<x₂<x*，从而f(x*)≥f(x₂)>f(x₁)，

    这与f(x₁)≥f(x₂)矛盾，所以x*∈(0, x₂)，即(0, x₂)是含峰区间

    当f(x₁)≤f(x₂)时，假设x*( x₂, 1)，则x*<≤x₁<x₂，从而f(x*)≥f(x₁)>f(x₂)，

    这与f(x₁)≤f(x₂)矛盾，所以x*∈(x₁, 1)，即(x₁, 1)是含峰区间

（II）证明：由（I）的结论可知：

    当f(x₁)≥f(x₂)时，含峰区间的长度为l₁＝x₂；

    当f(x₁)≤f(x₂)时，含峰区间的长度为l₂=1－x₁；

    对于上述两种情况，由题意得

                          ①

    由①得 1＋x₂－x₁≤1+2r，即x₁－x₁≤2r

    又因为x₂－x₁≥2r，所以x₂－x₁=2r,     ②

    将②代入①得

    x₁≤0.5－r, x₂≥0.5－r，               ③

    由①和③解得 x₁＝0.5－r， x₂＝0.5＋r

    所以这时含峰区间的长度l₁＝l₁＝0.5＋r，即存在x₁，x₂使得所确定的含峰区间的长度不大于0.5＋r

（III）解：对先选择的x₁；x₂，x₁<x₂，由（II）可知

    x₁＋x₂＝l，                             ④

    在第一次确定的含峰区间为(0, x₂)的情况下，x₃的取值应满足

    x₃＋x₁＝x₂，                            ⑤

    由④与⑤可得,

    当x₁>x₃时，含峰区间的长度为x₁．

    由条件x₁－x₃≥0.02，得x₁－(1－2x₁)≥0.02，从而x₁≥0.34

    因此，为了将含峰区间的长度缩短到0.34，只要取x₁＝0.34，x₂＝0.66，x₃=0.32