Question

素材1：椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，直线l：6x-5y-28=0与椭圆交于M、N两点，B为短轴上的端点，且短轴长为整数;

素材2：△MBN的重心恰为椭圆的右焦点F.试根据上述素材构建一个问题，然后再解答.

Answer 1

构建问题：直线l:6x-5y-28=0与椭圆C交于M、N两点，B为短轴的上端点，且短轴长为整数.若△MBN的重心是椭圆的右焦点F，椭圆的中心在原点，焦点在x轴上,求满足上述条件的椭圆方程?

解析：如下图.

设椭圆方程为=1(a＞b＞0),M、N、B的坐标分别为M（x₁,y₁）、N(x₂、y₂)、B（0,b），则b²x₁²+a²y₁²=a²b²,b²x₂²+a²y₂²=a²b².

两式相减得.            ①

由=c, =0,得

x₁+x₂=3c,y₁+y₂=-b,代入①得

2b²-5bc+2c²=02b=c或b=2c.                   ②

M、N在直线l上得6(x₁+x₂)-5(y₁+y₂)=56,

∴18c+5b=56.③

由②③解得(∵2b∈Z)b=4,c=2,a²=20.

∴椭圆方程为=1.