Question

已知函数f（x）=2lnx-x²．
（Ⅰ） 求函数y=f（x）在[

1

2

，2]上的最大值．
（Ⅱ）如果函数g（x）=f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0），且0＜x₁＜x₂．y=g′（x）是
y=g（x）的导函数，若正常数p，q满足p+q=1，q≥p．求证：g′（px₁+qx₂）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′(x)=

2(1-x)(1+x)

x

由题意得f′（x）=0在x=1有唯一的极值点f(

1

2

)=-2ln2-

1

4

f（2）=2ln2-4，f（x）_极大值=f（1）=-1，所以最大值为f（1）=-1
（Ⅱ）由题意得a=

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

-(x1+x2)所以只要证明g′(x)=

2

x

-2x-a=

2

px1+qx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

+(2p-1)(x2-x1)＜0即可，只需证
u（x）=

x2-x1

px1+qx2

+ln

x1

x2

＜0即可，由题得u′（t）＞0所以u（t）在t∈（0，1）上为增函数．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=2lnx-x²得到：f′(x)=

2(1-x)(1+x)

x

，
∵x∈[

1

2

，2]，故f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，f(

1

2

)=-2ln2-

1

4

，f（2）=2ln2-4，f（x）_极大值=f（1）=-1，
且知f(2)＜f(

1

2

)＜f(1)，所以最大值为f（1）=-1．
（Ⅱ）∵g′(x)=

2

x

-2x-a，又f（x）-ax=0有两个不等的实根x₁，x₂，
则

2lnx1-x12-ax1=0 2lnx2-x22-ax2=0

，两式相减得到：a=

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

-(x1+x2)
于是g′(px1+qx2)=

2

px1+qx2

-2(px1+qx2)-[

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

-(x1+x2)]
=

2

px1+qx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

+(2p-1)(x2-x1)
∵2p≤1，x₂＞x₁＞0，∴（2p-1）（x₂-x₁）≤0
要证：g′（px₁+qx₂）＜0，只需证：

2

px1+qx2

-

2(lnx1-lnx2)

x1-x2

＜0
只需证：

x2-x1

px1+qx2

+ln

x1

x2

＜0①
令

x1

x2

=t，0＜t＜1，只需证：u(t)=

1-t

pt+q

+lnt＜0在0＜t＜1*u上恒成立，
又∵u′(t)=

1

t

-

1

(pt+q)2

=

p2(t-1)(t- q2 p2 )

t(pt+q)2

∵p+q=1，q≥

1

2

，则

q

p

≥1，∴

q2

p2

≥1，于是由t＜1可知t-1＜0，t-

q2

p2

＜0
故知u′（t）＞0∴u（t）在t∈（0，1）*u上为增函数，
则u（t）＜u（1）=0，从而知

x2-x1

px1+qx2

+ln

x1

x2

＜0，即①成立，从而原不等式成立．

点评：此题主要考查利用导数函数的最值与函数的单调性，利用导数求出函数的最值从而进一步证明不等式的恒成立问题，利用导数证明不等式恒成立是高考的一个重点内容．