Question

已知二次函数y=f（x）的图象是将y=2x²的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到的
①求y=f（x）的解析式；
②若f（x）＞ax²-2ax对任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：①利用函数的平移变换可得f（x）=2（x-1）²+2；
②f（x）＞ax²-2ax对任意的x∈R恒成立?（2-a）x²-（4-2a）x+4＞0对任意的x∈R恒成立，分2-a=0与2-a≠0讨论，利用函数的性质即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：①y=2x²的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到y=2（x-1）²+2，即f（x）=2（x-1）²+2的图象，
所以，y=f（x）的解析式为：f（x）=2（x-1）²+2；
②f（x）＞ax²-2ax对任意的x∈R恒成立?2（x-1）²+2＞ax²-2ax对任意的x∈R恒成立?（2-a）x²-（4-2a）x+4＞0对任意的x∈R恒成立，
所以，当a=2时，4＞0对任意的x∈R恒成立，即a=2是所求的a的取值范围中的一部分；
当a≠2时，必有

2-a＞0 △=[-(4-2a)]2-4(2-a)×4＜0

，整理得

a＜2 a2＜4

，解得-2＜a＜2；
综上所述，-2＜a≤2；
所以，a的取值范围为（-2，2]．

点评：本题考查函数的图象变换，突出考查函数ax²+bx+c＞0恒成立问题，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．