Question

在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，直线l的参数方程是

x=-3+ 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数）．
（1）求极点在直线l上的射影点P的极坐标；
（2）若M、N分别为曲线C、直线l上的动点，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）由直线的参数方程设设P(-3+

3

2

t，

1

2

t)，得向量

OP

的坐标，再利用它与l的一个方向向量垂直得到一个关于参数t的方程，解得t值，最后将P的坐标化成极坐标即可；
（2）欲求|MN|的最小值，即求出圆上一点何时到直线的距离最小，先转化为圆心到直线的距离最小值求解，结合直角坐标系下的点到直线的距离公式求解即得．

解答：解：（1）由直线的参数方程消去参数t得l：x-

3

y+3=0，
则l的一个方向向量为

a

=(3，

3

)，
设P(-3+

3

2

t，

1

2

t)，
则

OP

=(-3+

3

2

t，

1

2

t)，
又

OP

⊥

a

，
则3(-3+

3

2

t)+

3

2

t=0，得：t=

3

2

3

，
将t=

3

2

3

代入直线l的参数方程得P(-

3

4

，

3

4

3

)，
化为极坐标为P(

3

2

，

2

3

π)．
（2）ρ=4cosθ?ρ²=4ρcosθ，
由ρ²=x²+y²及x=ρcosθ得（x-2）²+y²=4，
设E（2，0），则E到直线l的距离d=

5

2

，
则|MN|min=d-r=

1

2

．

点评：本题考查点的极坐标、直线的参数方程和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．