Question

已知函数f（x）=log₂（x+1）+alog₂（1-x），且f（-x）=-f（x）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求证：f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）（-1＜a＜1，-1＜b＜1）．

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）由f（-x）=-f（x），f（x）=log₂（x+1）+alog₂（1-x），可化出（a+1）（log₂（x+1）+log₂（1-x））=0；从而可解得．
（2）f（

a+b

1+ab

）=log₂（

a+b

1+ab

+1）-log₂（1-

a+b

1+ab

）=log₂（a+b+ab+1）-log₂（1+ab-a-b）化简可得．

解答： 解：（1）∵f（-x）=-f（x），
∴log₂（x+1）+alog₂（1-x）+log₂（-x+1）+alog₂（1+x）=0，
（a+1）（log₂（x+1）+log₂（1-x））=0，
则a=-1，
则f（x）=log₂（x+1）-log₂（1-x），（-1＜x＜1）
（2）证明：f（

a+b

1+ab

）=log₂（

a+b

1+ab

+1）-log₂（1-

a+b

1+ab

）
=log₂（a+b+ab+1）-log₂（1+ab-a-b）
=log₂（a+1）（b+1）-log₂（1-a）（1-b）
=（log₂（a+1）-log₂（1-a））+（log₂（b+1）-log₂（1-b））
=f（a）+f（b）．

点评：本题考查了函数的奇偶性的应用及学生的化简能力，属于中档题．