Question

5．已知函数f（x）=ax+lnx+$\frac{a+1}{x}$
（Ⅰ）若a≥0或a≤-1时，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：f（x）至多一个零点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的对数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出函数的单调性，从而求出函数的零点个数即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{（ax+a+1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
①a≥0时，ax+a+1＞0，则当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
②a≤-1时，ax+a+1＜0，则当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
（Ⅱ）对于函数f（x）：-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=1或-$\frac{a+1}{a}$，
-1＜a＜-$\frac{1}{2}$时，0＜-$\frac{a+1}{a}$＜1，
故当x∈（0，-$\frac{a+1}{a}$）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（-$\frac{a+1}{a}$，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
a=-$\frac{1}{2}$ 时，f′（x）≤0，f（x）在（0，+∞）上递减．
-$\frac{1}{2}$＜a＜0时，-$\frac{a+1}{a}$＞1，
故当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（1，-$\frac{a+1}{a}$）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（-$\frac{a+1}{a}$，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．                                                          
故有①设a≥0，f（x）≥f（1）=2a+1＞0，f（x）无零点，
②设a≤-1，f（x）≤f（1）=2a+1＜0，f（x）无零点，
③设a=-$\frac{1}{2}$，f（x）单调递减，至多一个零点，
④设-1＜a＜-$\frac{1}{2}$，则当x∈（0，-$\frac{a+1}{a}$）时，f（x）单调递减；
当x∈（-$\frac{a+1}{a}$，+∞）时，f（x）≤f（1）=2a+1＜0，
因此f（x）至多一个零点，
⑤设-$\frac{1}{2}$＜a＜0，则当x∈（-$\frac{a+1}{a}$，+∞），f（x）单调递减；
当x∈（0，-$\frac{a+1}{a}$） 时，f（x）≥f（1）=2a+1＞0，
因此f（x）至多一个零点，
综上，f（x）至多一个零点．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．