Question

7．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：
（1）B₁D⊥平面A₁BC₁
（2）记B₁D与平面A₁BC₁的交点H，求A₁B₁与平面A₁BC₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连结B₁D₁，推导出B₁D₁⊥A₁C₁，DD₁⊥A₁C₁，从而A₁C₁⊥B₁D，同理B₁D⊥A₁B，由此能证明B₁D⊥平面A₁BC₁．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出A₁B₁与平面A₁BC₁所成角的余弦值．

解答 证明：（1）连结B₁D₁，
∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁，
又DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁，∴DD₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥面D₁DB₁，
∴A₁C₁⊥B₁D，
同理可证B₁D⊥A₁B，
又A₁C₁∩A₁B=A₁，
∴B₁D⊥平面A₁BC₁．
（2）连结A₁H、BH、C₁H，由A₁B₁=BB₁=C₁B₁，得A₁H=BH=C₁H，
∴点H是△A₁BC₁的外心，
又△A₁BC₁为正三角形，∴H是△A₁BC₁的中心，∴H为△A₁BC₁的重心，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱长为1，
A₁（1，0，1），B₁（1，1，1），B（1，1，0），C₁（0，1，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（0，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-1），
设平面A₁BC₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=y-z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
设A₁B₁与平面A₁BC₁所成角为θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}B}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}|•|\overrightarrow{{A}_{1}B}|}$=$\frac{|1|}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴A₁B₁与平面A₁BC₁所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．