Question

已知函数f（x）=x³-x²+ax+b
（I）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间：
（Ⅱ）若函数f（x）的图象过点（1，1）且极小值点在区间（1，2）内，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求单调区间，先求导，令导函数大于0和小于0即可；
（Ⅱ）由函数f（x）的图象过点（1，1）可得出a，b的数量关系，函数f（x）极小值点在区间（1，2）内，说明f′（x）=0有一根在（1，2）内，又知f′（x）对称轴为x=

1

3

＜1，图象开口向上，可得f（1）f（2）＜0，求出a的范围，就可得出 b的范围．

解答：解：（I）当a=-1时，f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1）
令f'（x）＞0，
解得x＜-

1

3

或x＞1，
令f'（x）＜0，解得-

1

3

＜x＜1
∴f（x）的单调递增区间为（-∞，-

1

3

），（1，+∞），f（x）的单调递减区间为 （-

1

3

，1）
（Ⅱ）∵函数f（x）的图象过点（1，1）
∴a+b=1即b=1-a
∴f（x）=x³-x²+ax+1-a则f′（x）=3x²-2x+a
由题意知3x²-2x+a=0有两个不等实根且大根在区间（1，2）内
又∵f′（x）对称轴为x=

1

3

＜1
∴f（1）f（2）＜0即（a+1）（a+8）＜0
∴-8＜a＜-1
∴b的范围是（2，9）．

点评：本题考查函数单调性的判断和已知函数极值点求参数的范围，求参数范围，注意用函数的思想，借助函数的图象，易于理解，化难为易，此题综合性较强．