Question

如图，某市拟在道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段ABC，该曲线段为函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，＜φ＜π），x∈[-3，0]的图象，且图象的最高点为B（-1，3）；赛道的中间部分为千米的水平跑到CD；赛道的后一部分为以O圆心的一段圆弧．
（1）求ω，φ的值和∠DOE的值；
（2）若要在圆弧赛道所对应的扇形区域内建一个“矩形草坪”，如图所示，矩形的一边在道路AE上，一个顶点在扇形半径OD上．记∠POE=θ，求当“矩形草坪”的面积最大时θ的值．

Answer 1

【答案】分析：1）依题意，得A=3，=2，根据周期公式T=可得ω=，把B（-1，3）代入结合已知
＜φ＜π可得φ，又x=0时，y=OC=3，因为CD=从而可得∠COD=，可求∠DOE=．
（2）由（1）可知OD=OP=2，矩形草坪的面积S=（2sinθ）2cosθ+2sinθ=4sin（2θ+）-2，有0＜θ＜，结合正弦函数的性质可求
解答：解：（1）依题意，得A=3，=2，因为T=，所以ω=，所以y=3sin（x+φ）．
当x=-1时，3sin（-+φ）=3，由＜φ＜π，得-+φ=，所以φ=．
又x=0时，y=OC=3，因为CD=，所以∠COD=，从而∠DOE=．
（2）由（1）可知OD=OP=2，矩形草坪的面积
S=（2sinθ）（2cosθ-2sinθ）=4（sinθcosθ-sin²θ）
=4（sin2θ+cos2θ-）=4sin（2θ+）-2，
其中0＜θ＜，所以当2θ+=，即θ=时，S最大．
点评：本题主要考查了在实际问题中，由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定函数的解析式，一般步骤是：由函数的最值确定A的值，由函数所过的特殊点确定周期T，利用周期公式求ω，再把函数所给的点（一般用最值点）的坐标代入求φ，从而求出函数的解析式；还考查了实际问题中的最值的求解．关键是要把实际问题转化为数学问题来求解．