Question

设△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，

a-c

b-c

=

sin(A+C)

sinA+sinC

（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）求函数f(x)=2sin(x+

A

2

)cos(x+

A

2

)+2

3

cos2(x+

A

2

)-

3

的单调递增区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）△ABC中，由

a-c

b-c

=

sin(A+C)

sinA+sinC

利用正弦定理求得 a²=b²+c²-bc，再由余弦定理求得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，从而求得 A的值．
（Ⅱ）利用二倍角公式，两角和差正弦公式化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x+

2π

3

），由 2kπ-

π

2

≤2x+

2π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调增区间．

解答：解：（Ⅰ）△ABC中，由

a-c

b-c

=

sin(A+C)

sinA+sinC

利用正弦定理可得

a-c

b-c

=

b

a+c

，
化简可得  a²=b²+c²-bc．
再由余弦定理可得 cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
（Ⅱ）函数f(x)=2sin(x+

A

2

)cos(x+

A

2

)+2

3

cos2(x+

A

2

)-

3

=sin（2x+A）+

3

（cos2x+A）
=2sin（2x+A+

π

3

）=2sin（2x+

2π

3

），
由 2kπ-

π

2

≤2x+

2π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

7π

12

≤x≤kπ-

π

12

，k∈z，
故函数f（x）的单调增区间为[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]，k∈z．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，二倍角公式，两角和差正弦公式，正弦函数的增区间，属于中档题．