Question

已知函数f（x）=

x

1+x2

．
（1）判断其奇偶性；
（2）指出该函数在区间（0，1）上的单调性并证明；
（3）利用（1）、（2）的结论，指出该函数在（-1，0）上的增减性．

Answer 1

分析：（1）由已知易判断出函数的定义域为R，关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可根据函数奇偶性的定义，进行判断得到结论；
（2）任取x₁、x₂满足0＜x₁＜x₂＜1，并做出f（x₁）-f（x₂）的差，利用实数的性质，判断出f（x₁）与f（x₂）的大小，根据函数单调性的定义，即可得到答案；
（3）由（1）可得函数为奇函数，由（2）可得函数在（0，1）上为增函数，根据奇函数在对称区间上单调性相同，即可得到答案．

解答：解：（1）函数的定义域为R
∵f(-x)=

-x

1+(-x)2

=-

x

1+x2

=-f(x)
∴f（x）是奇函数；
（2）函数f（x）在（0，1）上是增函数
证明：任取x₁、x₂满足0＜x₁＜x₂＜1则
f（x₁）-f（x₂）=

x1

1+ x 2 1

-

x2

1+ x 2 2

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，
∴f（x₁）＜f（x₂）
因此函数f（x）在（0，1）上是递增函数；
（3）由于f（x）是R上的奇函数，在（0，1）上又是递增函数，
因而该函数在（-1，0）上也是增函数．

点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，其中掌握函数奇偶性与单调性的定义及判定方法是解答本题的关键．