Question

已知集合A={x|x=m+n

2

，m，n∈Z}．
（1）设x₁=

1

3-4 2

，x₂=

9-4 2

，x₃=（1-3

2

）²，试判断x₁，x₂，x₃与集合A之间的关系；
（2）任取x₁，x₂∈A，试判断x₁+x₂，x₁•x₂与A之间的关系．

Answer 1

分析：（1）经过分母有理化、开方、平方化简即可判断出x₁，x₂，x₃是否属于集合A．
（2）经过计算可判断出是否属于集合A．

解答：解：（1）∵x1=

1

3-4 2

=

3+4 2

(3-4 2 )(3+4 2 )

=

3+4 2

-23

=-

3

23

-

4

23

2

．∴x₁∉A．
∵x2=

9-4 2

=

8-2 8 +1

=2

2

-1．∴x₂∈A．
∵x3=(1-3

2

)2=19-6

2

．∴x₃∈A．
（2）设x1=m+n

2

，m，n∈Z，x2=c+d

2

，c，d∈Z，
则x₁+x₂=（m+c）+（n+d）

2

，∵（m+c），（n+d）∈Z，∴（x₁+x₂）∈Z．
x₁x₂=(m+n

2

)(c+d

2

)=mc+2nd+（md+cn）

2

，∵（mc+2nd），（md+cn）∈Z，∴x₁x₂∈Z．

点评：本题考查了元素与集合之间的关系，正确理解和化简是解决问题的关键．