Question

【题目】已知函数f（x）=|3x﹣1|﹣2|x|+2．
（1）解不等式：f（x）＜10；
（2）若对任意的实数x，f（x）﹣|x|≤a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：x＜0时，不等式化为﹣3x+1+2x+2＜10，解得x＞﹣7，∴﹣7＜x＜0；

0 时，不等式化为﹣3x+1﹣2x+2＜10，解得x＞﹣ ，∴0 ；

x＞ 时，不等式化为3x﹣1﹣2x+2＜10，解得x＜9，∴ ；

综上所述，不等式的解集为（﹣7，9）；

（2）解：对任意的实数x，f（x）﹣|x|≤a恒成立，即|3x﹣1|﹣|3x|≤a﹣2，

∵|3x﹣1|﹣|3x|≤|3x﹣1﹣3x|=1，

∴a﹣2≥1，∴a≥3．

【解析】（1）分类讨论，解不等式：f（x）＜10；（2）对任意的实数x，f（x）﹣|x|≤a恒成立，即|3x﹣1|﹣|3x|≤a﹣2，利用|3x﹣1|﹣|3x|≤|3x﹣1﹣3x|=1，即可求实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解绝对值不等式的解法的相关知识，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．